一、关于Lebesgue积分的中值定理（论文文献综述）
孙秀花,张磊[1]（2021）在《Lebesgue积分的混合积分中值定理》文中研究说明利用Lebesgue积分的介值定理,给出并证明了勒贝格积分的混合积分中值定理,并且得出勒贝格积分第二中值定理是它的一种特殊情形.
邓宇龙[2]（2020）在《拟微分算子及其交换子的有界性研究》文中研究表明设拟微分算子T具有光滑的象征且象征属于Sρ,δm（Rn）.本文研究了拟微分算子T及其交换子的四个问题:拟微分算子交换子在Hardy型空间上的有界性、拟微分算子T及其交换子在加权Hardy空间上的有界性、拟微分算子交换子的双权型估计、拟微分算子T及其交换子关于Ap（φ）权的加权Lp估计.第二章主要介绍了几个需要用到引理和已知结果,如拟微分算子分布核的估计、拟微分算子的Lp估计以及拟微分算子的加权Lp估计等.第三章主要建立了拟微分算子与BMO（Rn）函数生成的交换子的H1（Rn）到弱L1（Rn）估计和Hbp（Rn）到Lp（Rn）估计.第四章主要建立了拟微分算子及其交换子在加权Hardy空间上的有界性.获得了拟微分算子从Hω1（Rn）到Lω1（Rn）以及Hω1（Rn）到自身有界的充分性条件,其中ω ∈ Ap.此外,还得到了拟微分算子与BMO（Rn）空间的一个子空间BMO（Rn）函数生成的交换子从Hω1（Rn）到Lω1（Rn）有界的充分性条件.第五章主要建立了拟微分算子交换子算子[b,T]的双权型估计,其中b属于加权BMO（Rn）空间.这是对拟微分算子相关理论的一个补充.第六章主要建立了拟微分算子及拟微分算子与BMO（Rn）函数生成的交换子关于Ap（φ）权的加权Lp有界性.我们已经知道,Ap（?）Ap（φ）且Ap（φ）权具有局部倍测度性质.这推广了已知的加权Lp有界性的相关结果.
尚云,邢建民[3]（2020）在《无穷区间反常积分中值定理的推广》文中认为积分中值定理是微积分中的重要内容之一.传统的积分中值定理是建立在定积分的概念上,而对反常积分很少涉及.文中从对无穷区间上连续函数的性质分析出发,建立和证明了无穷区间反常积分的中值定理.它是对反常积分理论和教学方面的有力补充.
佟玉霞[4]（2019）在《散度型椭圆方程及其障碍问题很弱解的正则性》文中提出本学位论文研究了散度型椭圆方程及其障碍问题很弱解的正则性如下三个问题:一是有关微分形式的A-调和方程很弱解的性质（梯度的零点性质、梯度的较高可积性、奇点可去性等）;二是非线性散度型椭圆方程组的Dirichlet问题的很弱解由边值决定的正则性;三是具有变指数A-调和方程及其障碍问题的弱解的局部Holder连续性.具体内容如下:第1章简述本研究的选题背景、综述本文相关的文献资料和最新发展动态.第2章考虑A-调和微分形式方程的很弱解梯度的零点性质.通过建立很弱解的Caccioppoli估计,得到很弱解梯度的弱逆Ho1der不等式,最后结合本性零点的定义获得很弱解的梯度的零点性质.第3章研究A-调和微分形式方程很弱解梯度的可积性提高.通过建立很弱解梯度的弱逆Holder不等式,基于Iwaniec及其合作者的一系列工作中方法技术,当很弱解梯度的可积指数r小于并接近于可积指数p时,得到可积指数的提高,从而得到很弱解梯度达到弱解梯度的可积指数.第4章考虑了关于微分形式的椭圆方程很弱解的奇点可去性.通过梯度的扰动向量场Hodge分解式,给出在很弱解意义下的适当检验函数,从而建立很弱解的Caccioppoli估计;再结合容量的处理方法,从而建立具有微分形式的椭圆方程很弱解的奇点可去性,并进一步将该结论推广到加权下具可控增长的椭圆方程很弱解的奇点可去性问题.第5章研究散度型非线性椭圆方程组Dirichlet边值问题的很弱解由边值决定的正则性.通过扰动向量场的Hodge分解给出很弱解意义下的适当检验函数,借助Sobolev嵌入定理、Stampacchia引理等技术,从而在不同边界值正则性下讨论了很弱解的正则性情况.第6章研究具有可变指数下非标准增长的A-调和方程弱解梯度的局部Holder连续性.利用变指数的强log-Holder连续性,建立方程弱解和某个在局部意义下标准增长并凝固自变量椭圆方程Dirichlet问题的解v作为比较函数的逼近关系,再结合反向Holder不等式,采用迭代方法,继而得到梯度的局部Ho1der连续性.第7章研究具有可变指数的椭圆障碍问题弱解梯度的局部Holder连续性.其使用的方法类似于第六章的凝固自变量和标准增长方程边值问题作为比较对象,但是在建立关于比较函数v的逼近关系时,需要多次给出▽u与▽v之间的估计关系,并结合反向Holder不等式,得到局部Holder连续性。
侯宪明[5]（2019）在《奇异积分及相关算子的弱型极限行为与紧性的若干问题》文中认为本文主要研究了奇异积分及相关算子的弱型极限行为与交换子紧性问题.第一章概述了本文所研究问题的相关背景及国内外的研究现状,并简单介绍了本文的主要工作和结构安排.第二章考虑了 Littlewood-Paley函数的弱型极限行为.准确地说,在一定光滑条件和尺寸条件下,得到了 Littlewood-Paley g-函数gφ的弱型极限行为.此外,当核函数Ω满足零阶齐次性,球面消失性以及Lαq-Dini条件时,相应的Marcinkiewicz及其分数次Marcinkiewicz积分μΩ,α的弱型极限行为也被给出.第三章研究了关于幂权测度的极大算子弱型极限行为.对于β≥ 0,令μ为Rn上的幂权测度且dμ（x）=|x|βdx.对于0≤α<n,我们得到了关于幂权测度μ的中心Hardy-Littlewod极大和分数次极大算子Mμα的弱型极限行为.此外,我们也给出了非中心极大算子Mμα和广义分数次积分相应的弱型极限行为.第四章讨论了关于齐次核Ω的向量值奇异和分数次积分以及极大算子的弱型极限行为.在核函数满足一定Dini型条件下,建立了相应向量值算子的弱型极限行为,从而推出经典的向量值奇异积分、分数次积分以及极大算子的弱型端点估计并不是最佳的.第五章研究了带齐次核Ω的抛物型奇异积分和分数次积分算子的弱型极限行为.同时,相应的抛物型极大奇异积分和Marcinkiewicz积分的弱型极限行为也被给出.此外,我们建立了 Heisenberg群Hn上Hardy-Littlewood极大函数的相应结果.第六章考虑了与Bessel算子相关的Riesz变换和极大算子的弱型极限行为.令λ>0,△λ:=-（d2）/（dx2）-（2λ）/x d/（dx）是R+上的Bessel算子.我们建立了与Bessel算子相关的Riesz变换R△λ的弱型极限行为.此外,Bessel背景下,相应的极大和分数次极大函数的弱型极限行为也成立.第七章讨论了振荡Calderon型交换子的加权紧性.对于p>1,m ∈ N和A ∈ Am-1,首先建立了振荡CaldeMn型交换子TΩA的加权Lp紧性的判定定理.此外,对于0<α≤1,1/p-1/q=α/n以及A∈Am-1,α,得到振荡Calderon型交换子TA和Calderon型交换子TΩA都是从Lp（ωp）到Lq（ωq）的紧算子.在一定条件下,对于A∈Am-1,α,也可以推出振荡Calderon型交换子TΩA是Lp（ω）上的紧算子.
潘迎利[6]（2018）在《一类季节性种群演化系统的传播动力学》文中研究说明生物入侵是常见的生态现象,其吸引了包括数学在内的多领域学者的关注,是当前国际上多学科交叉的一个热点问题.种群自身复杂的生命周期和所处环境复杂多变的特点使其在入侵过程中呈现出丰富的时空传播模式,从数学上来刻画这些模式对理解入侵现象是有意义的.文针对具有显着季节性繁殖和季节性成熟特点的种群,建立一个具有周期时滞的非局部反应扩散模型,进而研究季节性特征、扩散方式、Allee效应等因素对传播动力学的影响.首先,按照年龄与成熟期的大小关系,把种群分为成年和成年两部分,基于年龄结构基方程和相关演化的观点,推导出成年和成年种群所满足的时间周期的反应扩散模型,其中成年种群方程是不依赖成年种群的,再结合显着季节性特征,导出成年种群方程的Poincaré映射.由该映射所定义的迭代系统对研究上述周期反应扩散模型是重要的.其次,在单稳定框架下,当扩散方式是局部的时候,研究由Poincaré映射所定义的迭代系统的传播动力学.其中包括渐近传播速度的存在性、有限性、与行波最小波速重合、以及其线性估计,根据传播速度的变分刻画,发现成熟期、周期死亡率等季节更替所导致的周期性因素对传播速度的影响是复杂的,特别地,如果成熟季节长于繁殖季节,那么成熟期随时间变化的特点可以减缓传播,反之可以加快;然后,当单调性和紧性条件不成立时,利用Schauder不动点定理和压缩映射的性质证明了行波解的存在性;进一步,在得到波形函数连接零平衡态处的确切衰减速度之后,利用波形函数的渐近表达式证明了行波在平移意义下的唯一性.再次,在单稳定框架下,当扩散方式是非局部的时候,研究发现非局部扩散核函数在无穷远处的衰减速度对传播速度有质的影响:当衰减速度比某个指数函数快时,传播速度的刻画与局部扩散是相似的,当衰减速度比任何指数函数都慢时,传播速度是无穷大;进一步,通过构造精确上下解刻画解的水平集,发现其具有加速传播的特征,其中,核函数衰减速度与Poincaré映射的线性化算子之间的关系是刻画水平集的关键.接着,在由Allee效应所诱导的双稳定框架下,利用单调半流理论证明了双稳行波的存在性;结合构造精确的上下解和“挤压”的思想,证明了行波波速的唯一性、行波波形在平移意义下的唯一性、行波在平移意义下的Lypounov稳定性和全局指数渐近稳定性.最后,把由Poincaré映射所定义的迭代系统的传播动力学性质返回到周期模型.我们先返回到成年种群的周期反应扩散方程,再到成年种群的方程.在此过程中,一个由生态演化守恒角度所导出的积分恒等式起着关键的作用.
谢锡麟[7]（2018）在《基于数理知识体系自身与传播研究的微积分教学》文中指出本文从方法论层面阐述数理知识体系自身研究与知识体系传播研究的若干思想与方法,并藉此实践于非数学类专业的微积分教学,包括一定程度上归纳Euclid空间中微积分的主要思想与主要方法.本文阐述的相关教学思想与方法亦可借鉴于其他数理类课程的教学.
杨立星[8]（2017）在《基于Lebesgue积分意义下的积分中值定理》文中研究表明积分中值定理在高等数学的理论研究中占有非常重要的地位.本文中,首先给出了定理中的参数"ξ"可以存在于开区间的证明;此外,在Lebesgue积分意义下,给出了二重积分的积分中值定理的证明.
黄永忠,刘继成[9]（2016）在《多元向量函数的中值定理及应用》文中研究指明中值定理是可微函数的重要性质,是证明某些等式和不等式的重要工具,而等式形式的向量函数的微分中值定理一般是不成立的,通常只能得到微分中值不等式.本文从一元函数的Newton-Leibniz公式出发,证明了一个多元向量函数等式形式的积分型中值定理.该定理揭示了多元向量函数等式形式的微分中值定理不成立的原因,也蕴含了微分中值不等式.
马金月[10]（2016）在《勒贝格积分定义的历史探究》文中进行了进一步梳理勒贝格积分是数学发展过程中的里程碑,经典与现代分析的分水岭,20世纪结构数学的重要组成部分.这一理论的提出最早要归功于法国数学家勒贝格,且他先后给出了积分的数种不同定义.然而，勒贝格却并不是该理论唯一的创造者,英国数学家杨继而就用完全不同的方式独立提出了与之等价的积分理论.此后数学家们更是对其展开了深入探究,在几十年的时间里就相继提出了勒贝格积分的数十种定义.而且随着现代数学的发展,勒贝格积分的新定义仍在不断涌现.本文在原始文献的基础上,辅以相关研究文献,以时间为序,应用比较分析研究法,对勒贝格积分的定义进行历史探究：探索了勒贝格积分产生的历史背景、勒贝格积分的各种定义方式、勒贝格积分的应用以及对现代数学的影响等.主要内容如下：1.全面梳理了20世纪之前积分论以及测度论的发展.从积分与测度这两个角度对勒贝格积分产生的背景进行了剖析.2.详致探究了勒贝格积分的定义.首先考察了勒贝格关于积分的几何的、解析的、公理化的以及以微分为基础的等几种不同形式的定义；然后研究了杨通过推广达布积分定义和利用单调序列的方法所给出的另外两种全新的定义方式；对于勒贝格积分的其它定义,则着重选取了基于经典积分的定义角度介绍了几种具有代表性的定义方法；最后对勒贝格积分的所有定义进行了分类,并对这两类定义的优劣进行了对比.3.系统阐述了勒贝格积分的应用及影响.重点考察其在三角级数问题、原函数问题上的应用以及对泛函分析、概率论等的影响,明确了勒贝格积分理论在现代数学中的重要地位.
二、关于Lebesgue积分的中值定理（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于Lebesgue积分的中值定理（论文提纲范文）
（2）拟微分算子及其交换子的有界性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 拟微分算子的由来及概念 |
| 1.1 从两个例子说起 |
| 1.2 拟微分算子的概念 |
| 1.3 本文研究的内容 |
| 1.4 本文内容安排 |
| 第二章 几个引理和关于拟微分算子的几个已知结果 |
| 2.1 关于拟微分算子的核估计引理 |
| 2.2 关于极大函数与拟微分算子的L~p估计 |
| 2.3 关于Ap权理论和拟微分算子的加权L~p估计 |
| 第三章 拟微分算子交换子的弱型估计 |
| 3.1 拟微分算子的弱型估计 |
| 3.2 拟微分算子与BMO函数生成的交换子从H~1(R~n)到弱L~1(R~n)上的有界性 |
| 3.3 拟微分算子与BMO函数生成的交换子的H_b~p(R~n)到L~p(R~n)估计 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 拟微分算子及其交换子在加权Hardy空间H_ω~1(R~n)上的有界性 |
| 4.1 拟微分算子的H_ω~1(R~n)到L_ω~1(R~n)估计 |
| 4.2 拟微分算子的H_ω~1(R~n)到H_ω~1(R~n)估计 |
| 4.3 拟微分算子与BMO函数生成的交换子的H_ω~1(R~n)到L_ω~1(R~n)估计 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 拟微分算子交换子的双权型估计 |
| 5.1 拟微分算子交换子的双权型估计 |
| 5.2 小结 |
| 第六章 拟微分算子关于A_p(φ)权的加权L_p估计 |
| 6.1 关于A_p(φ)权及其性质 |
| 6.2 拟微分算子关于A_p(φ)权的加权L_p有界性 |
| 6.3 拟微分算子与BMO函数生成的交换子关于A_p(φ)权的加权L~p有界性 |
| 6.4 小结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间已发表和完成的学术论文及研究成果 |
（3）无穷区间反常积分中值定理的推广（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 预备知识 |
| 3 主要结果 |
| 3.1 无穷区间上连续函数的性质 |
| 3.2 无穷区间反常积分中值定理 |
| 3.2.1 定理的建立与证明 |
| 3.2.2 应用举例 |
| 4 结 论 |
（4）散度型椭圆方程及其障碍问题很弱解的正则性（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 选题背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 微分形式的椭圆方程及很弱解的正则性研究现状 |
| 1.2.2 变指数的椭圆方程及其障碍问题的解正则性研究现状 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 2 A-调和形式方程的很弱解的梯度的零点 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 相关知识 |
| 2.3 弱A-调和张量的Caccioppoli不等式 |
| 2.4 A-调和形式方程的很弱解的梯度的零点 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 非齐次A-调和形式方程的很弱解的高阶可积性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 相关引理 |
| 3.3 主要定理的证明 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 A-调和形式方程的很弱解的奇点可去性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 相关定义和引理 |
| 4.3 弱A-调和张量的奇点可去性的证明 |
| 4.4 加权情形 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 非线性椭圆方程组的Dirichlet问题的很弱解的全局可积性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识和引理 |
| 5.3 主要定理的证明 |
| 5.4 本章小结 |
| 6 变指数A-调和方程弱解的梯度的局部Holder连续性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 相关知识和引理 |
| 6.3 主要定理的证明 |
| 6.4 本章小结 |
| 7 类涉及p(x)-Laplacian的障碍问题的局部C~(1,α)估计 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 预备知识和相关引理 |
| 7.3 主要定理的证明 |
| 7.4 本章小结 |
| 8 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（5）奇异积分及相关算子的弱型极限行为与紧性的若干问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 问题的研究背景及研究现状 |
| §1.2 本文的主要结果 |
| §1.3 基本记号 |
| 第二章 Littlewood-Paley函数的弱型极限行为 |
| §2.1 问题的提出及其主要结果 |
| §2.2 Littlewood-Paley g-函数的弱型极限行为 |
| §2.3 Marcinkiewicz型积分的弱型极限行为 |
| 第三章 关于幂权测度的极大算子的弱型极限行为 |
| §3.1 问题的提出及其主要结果 |
| §3.2 关于幂权测度的极大算子的弱型极限行为 |
| §3.3 关于幂权测度的分数次积分的弱型极限行为 |
| 第四章 向量值奇异积分和极大算子的弱型极限行为 |
| §4.1 问题的提出及其主要结果 |
| §4.2 关于齐次核的向量值奇异和分数次积分弱型极限行为 |
| §4.3 关于齐次核的向量值极大算子的弱型极限行为 |
| 第五章 抛物型积分算子的弱型极限行为 |
| §5.1 问题的提出及其主要结果 |
| §5.2 抛物型奇异积分和分数次积分及极大奇异积分的弱型极限行为 |
| §5.3 抛物型Marcinkiewicz积分的弱型极限行为 |
| §5.4 Heisenberg群上Hardy-Littlewood极大函数的弱型极限行为 |
| 第六章 Bessel背景下Riesz变换和极大算子的弱型极限行为 |
| §6.1 问题的提出及其主要结果 |
| §6.2 与Bessel算子相关的Riesz变换的弱型极限行为 |
| §6.3 Bessel背景下极大算子的弱型极限行为 |
| 第七章 振荡Calder(?)n型交换子加权紧性 |
| §7.1 问题的提出及其主要结果 |
| §7.2 振荡Calder(?)n型交换子的加权L~p紧性的判别定理 |
| §7.3 振荡Calder(?)n型交换子和Calder(?)n型交换子的加权紧性 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（6）一类季节性种群演化系统的传播动力学（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 生态学入侵现象 |
| 1.2 传播理论的研究现状 |
| 1.2.1 反应扩散方程 |
| 1.2.2 积分差分方程 |
| 1.2.3 抽象半流理论 |
| 1.3 本文主要工作及其结构 |
| 第2章 季节性种群模型 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 种群模型的建立 |
| 2.2.1 局部扩散方程 |
| 2.2.2 非局部扩散方程 |
| 2.3 约化为Poincaré映射Q |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 局部扩散方式时渐近传播速度与行波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 空间齐性Poincaré映射Q的性质 |
| 3.3 单调情形下系统{Q~n}n≥0的传播动力学 |
| 3.3.1 渐近传播速度与行波解 |
| 3.3.2 参数对渐近传播速度的影响 |
| 3.4 非单调情形下系统{Q~n}n≥0的传播动力学 |
| 3.4.1 渐近传播速度与行波解 |
| 3.4.2 行波解向上的收敛性 |
| 3.5 行波解的唯一性 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 非局部扩散方式时解的加速传播现象 |
| 4.1 引言和主要结论 |
| 4.2 核函数K的性质 |
| 4.3 迭代系统{Q~n}n≥0的传播动力学 |
| 4.3.1 渐近传播速度与行波解的存在性 |
| 4.3.2 渐近传播速度有限和无限的刻画 |
| 4.4 迭代系统{Q~n}n≥0的加速传播解 |
| 4.4.1 解的水平集随时间变化的下界 |
| 4.4.2 解的水平集随时间变化的上界 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 双稳定结构时行波解的存在性与稳定性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 迭代系统{Q~n}n≥0的双稳行波解 |
| 5.2.1 双稳定结构 |
| 5.2.2 双稳行波解的存在性 |
| 5.3 双稳行波解的性质 |
| 5.3.1 唯一性和Lyapunov稳定性 |
| 5.3.2 全局指数渐近稳定性 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 提升到季节性种群模型的传播动力学 |
| 6.1 能量演化恒等式 |
| 6.2 种群演化方程的传播动力学 |
| 6.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（7）基于数理知识体系自身与传播研究的微积分教学（论文提纲范文）
| 1 追求具有一流水平的微积分教学 |
| 2 教学理念与方法论层面的获得———将教学理解为知识体系自身的研究与传播的研究两方面 |
| 3 知识体系自身的研究 |
| 3.1 知识体系自身研究的学术基础 |
| 3.2 微积分的主要思想 |
| 3.2.1 抓住主要矛盾忽略次要矛盾 |
| 3.2.2 由结构驱动结论 |
| 3.2.3 一元微积分与多元微积分之间的关系 |
| 3.2.4 变换的思想 |
| 3.2.5 因果分解 |
| 3.3 微积分的主要方法 |
| 3.3.1 一元微积分的主要方法 |
| 3.3.2 高维微积分的主要方法 |
| 4 知识体系传播的研究———追求并保证对于高程度知识体系的传播具有优秀的教学成效 |
| 4.1 知识体系传播研究的学术基础 |
| 4.2 在线资源 |
| 4.2.1 课程体系网站 |
| 4.2.2 在线课程 |
| 5 课程教学的两个方面 |
| 5.1 课堂上能讲些什么 |
| 5.2 课后能做些什么 |
| 6 总结及讨论 |
（8）基于Lebesgue积分意义下的积分中值定理（论文提纲范文）
| 一、理论背景 |
| 二、Lebesgue积分意义的积分中值定理 |
| 三、实例 |
（10）勒贝格积分定义的历史探究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 引言 |
| 第一章 勒贝格积分产生的背景 |
| 1.1 勒贝格之前积分的发展 |
| 1.1.1 柯西积分 |
| 1.1.2 狄利克雷的工作 |
| 1.1.3 黎曼积分 |
| 1.1.4 黎曼积分在19世纪的发展 |
| 1.1.5 19世纪数学家对黎曼积分的态度 |
| 1.2 勒贝格之前测度的发展 |
| 1.2.1 早期的容量理论 |
| 1.2.2 皮亚诺与若尔当的容量理论 |
| 1.2.3 波莱尔的测度论 |
| 第二章 勒贝格积分的定义 |
| 2.1 新积分理论的开创——勒贝格 |
| 2.1.1 勒贝格生平 |
| 2.1.2 勒贝格关于积分的定义方式 |
| 2.2 勒贝格积分的独立创造——杨 |
| 2.2.1 杨生平 |
| 2.2.2 杨关于积分的定义方式 |
| 2.3 勒贝格积分的其它定义方式 |
| 2.4 勒贝格积分定义的分类与对比 |
| 第三章 勒贝格积分的应用及影响 |
| 3.1 勒贝格对新积分理论的应用 |
| 3.1.1 勒贝格积分在三角级数问题上的应用 |
| 3.1.2 勒贝格积分在原函数问题上的应用 |
| 3.2 勒贝格积分的影响 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、关于Lebesgue积分的中值定理（论文参考文献）
- [1]Lebesgue积分的混合积分中值定理[J]. 孙秀花,张磊. 德州学院学报, 2021(06)
- [2]拟微分算子及其交换子的有界性研究[D]. 邓宇龙. 湘潭大学, 2020(10)
- [3]无穷区间反常积分中值定理的推广[J]. 尚云,邢建民. 大学数学, 2020(01)
- [4]散度型椭圆方程及其障碍问题很弱解的正则性[D]. 佟玉霞. 北京交通大学, 2019(01)
- [5]奇异积分及相关算子的弱型极限行为与紧性的若干问题[D]. 侯宪明. 厦门大学, 2019(07)
- [6]一类季节性种群演化系统的传播动力学[D]. 潘迎利. 哈尔滨工业大学, 2018(01)
- [7]基于数理知识体系自身与传播研究的微积分教学[J]. 谢锡麟. 复旦学报(自然科学版), 2018(02)
- [8]基于Lebesgue积分意义下的积分中值定理[J]. 杨立星. 数学学习与研究, 2017(15)
- [9]多元向量函数的中值定理及应用[J]. 黄永忠,刘继成. 大学数学, 2016(04)
- [10]勒贝格积分定义的历史探究[D]. 马金月. 河北师范大学, 2016(01)