一、半线性伪抛物型差分格式的收敛性（论文文献综述）
姜文竹[1]（2021）在《半线性抛物积分微分方程扩张混合有限元方法的两层网格格式》文中进行了进一步梳理两网格有限元方法首次由许进超教授提出并用于求解非对称和不定线性椭圆方程.随后,许教授考虑了半线性和非线性椭圆方程的两网格有限元方法.基于此两网格算法,一些专家学者将两网格格式与混合有限元方法,有限体积元方法和有限差分方法等多种方法结合求解几类非线性抛物问题.本文针对一类半线性抛物积分微分方程,提出了一个将两种二阶时间离散格式与扩张混合有限元方法相结合的两网格格式,并给出了详细的收敛性分析.首先,在两网格格式的粗网格空间上,第一个时间层用Crank-Nicolson格式求解原非线性问题,其他时间层使用蛙跳格式求解.接下来,利用已知的粗网格解和Taylor展式在细网格空间上求解.最后,给出数值算例验证理论结果.
安家嘉[2]（2021）在《一类退化抛物方程奇异解的数值分析》文中研究指明由于抛物型偏微分方程在物理、力学和工程技术中有着广泛的应用,因此对其理论和数值算法的研究也一直是众多数学家研究的热点问题,对带Neumann边界条件抛物型偏微分方程的数值算法研究亦是其中的研究课题之一.从而本文的研究内容如下:首先,利用全离散格式的有限差分法研究带有奇异Neumann边界条件和奇异反应项的半线性抛物问题数值解的渐近行为.在初始数据满足一定条件的假设下,证明了数值解淬火速率与连续解淬火速率的一致性,数值淬火时间收敛于连续淬火时间,并通过一些数值实验验证理论结果的正确性.其次,文中利用半离散格式的有限元方法研究带有奇异Neumann边界条件和奇异反应项的拟线性抛物问题数值解的渐近行为.证明了数值解淬火速率与连续解淬火速率是一致的,数值淬火时间收敛于连续淬火时间,并给出数值实验来验证理论结果的正确性.总之,本文通过两种数值方法对两个问题的离散,从理论上严谨地分析了数值解的渐近行为,从数值上完美地模拟了解的性态,对这两个问题在物理、力学和工程技术中的应用有着一定的指导意义.
张迪[3]（2021）在《一类四阶非线性抛物方程的紧致差分方法》文中指出四阶非线性抛物方程在薄膜理论、火焰传播、双稳态相变和高阶扩散等领域应用广泛,近年来受到了越来越多的关注.由于方程的高阶和非线性性质使得精确解很难求得,所以研究此类方程的高效数值解法,具有重要的理论和实际意义.（?）本文主要研究如下四阶非线性抛物方程的初边值问题:其中Ω为RN（N=1,2）中带有按段光滑边界的有界区域,Γ为Ω的边界.Ρ为大于1的整数.Κα（t）（α=1,2,3）为具有正的上下界的充分光滑函数.（?）为已知函数.本文主要分为两大部分,分别考虑了该问题在一维和二维情形下的紧致差分方法.首先,对方程中的四阶导数项,采用降阶的思想,通过引入中间变量,将原四阶方程转化为二阶耦合的方程组.然后,对空间导数项采用四阶紧致差分方法离散,对时间导数项在一维情形中采用Crank-Nicolson方法离散,在二维情形中采用隐式中心差分方法离散,建立了两种紧致差分格式.接下来,对差分格式进行了理论分析,证明了格式解的存在唯一性和有界性,利用能量分析法证明了格式的无条件稳定性和（?）的收敛性.最后,通过数值算例验证了格式的有效性.
杨录峰[4]（2021）在《几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究》文中研究说明谱方法因其具有谱精度,被广泛的用于各种问题的数值求解之中,但对于奇异摄动问题,经典谱方法需要大量节点才能刻画边界层的变化规律,得到高精度的数值解.为了改善奇异摄动问题数值模拟的效率,一部分学者从减轻问题的奇异性出发,将问题的解分解为正则分量和奇异分量分别求解;另一部分致力于改进数值方法,使网格节点更多的向边界层聚集,以适应奇异摄动问题求解的需要.本文结合这两类处理方法的优点,提出了基于奇异分离技术的谱方法.第一章介绍了奇异摄动问题的研究背景、研究进展以及本文的研究问题和主要工作.第二章考虑二阶奇异摄动问题,首先利用渐近展开理论结果预先确定边界层的位置和宽度,即确定sinh变换的参数,使Chebyshev-Gauss-Lobatto节点向边界层聚集,然后利用奇异分离技术将奇异摄动问题分解为弱奇异辅助边值问题和确定边界层校正函数的问题.利用含sinh变换的有理谱方法求解弱奇异摄动边值问题,得到解的正则分量,利用边界条件和问题的特征值,显式确定奇异校正函数,并给出了误差估计式.对于变系数问题,利用奇异摄动分离构造校正函数,然后利用谱方法求解正则分量及奇异分量的待定参数,进而组合得到原问题的数值解,最后通过数值实验,验证理论结果.第三章考虑二阶奇异摄动方程组问题,利用基于奇异分离技术的有理谱方法分别求解弱耦合反应扩散问题和强耦合对流扩散问题,分别推导并证明了通解表达式,然后应用有理谱方法求解弱奇异摄动问题确定原问题的一个特解,并利用边界条件确定了奇异校正函数的显式表达式,并证明了该方法当很小时几乎达到谱精度.对于变系数奇异摄动方程组,我们同样利用系数矩阵的特征值和相应的特征向量构造校正函数刻画奇异分量,然后利用谱方法求解弱奇异方程组,得到正则分量与奇异分量的参数,组合奇异分量与正则分量得到问题的解.最后利用数值算例验证了理论分析的结果.第四章考虑含不连续源项或界面条件的奇异摄动问题的数值模拟.将整个区间上的奇异摄动问题分解为左、右子问题,然后对每个子问题采用有理谱方法求解弱奇异性问题确定正则分量,利用边界条件和界面条件确定奇异校正函数的参数,最后利用缝接法得到原问题的解.数值实验验证了该方法能够高精度的求解此类问题.第五章对于抛物型奇异摄动问题和时间分数阶奇异摄动问题.利用Laplace变换法将非定常微分方程变换为频域上的关于空间变量的常微分方程边值问题,然后利用基于奇异分离技术的谱方法求解含参数的奇异摄动边值问题,利用最后利用Talbot方法,数值求解逆Laplace变换得到原问题的数值解.Laplace变换的使用规避了时间演进中对时间步长的限制要求.数值实验验证该方法具有高精度.
吴渤[5]（2020）在《高阶发展问题的高效算法研究》文中研究说明现代科学技术、工程中的许多问题都和时间有关,且它们的数学模型都可用线性或者非线性发展方程（组）的定解问题来描述.这些问题,尤其是和非线性发展方程（组）相关的问题一般都很复杂,很难得到它们的显式解,因此数值求解势在必行.本文的目的就是针对几类重要的高阶发展方程（组）构建高效数值算法并进行系统数值模拟.所以,该研究具有重要的理论意义与应用前景.首先,针对带Dirichlet或周期边界条件的任意阶发展方程提出了统一的快速紧致时间积分方法（FCTI）.具体而言,先对方程在空间方向采用四阶紧致差分格式进行离散并基于谱分解导出常微分方程组形式的半离散化格式.然后通过常数变易公式得到半离散化格式之解的显式时间积分表示式.在此基础上,对积分中的非线性源项采用Lagrange多项式插值逼近并精确计算相应积分,由此获得最终数值方法.两种边界条件下的谱分解分别对应于离散sine变换和离散Fourier变换,因此该方法还可以通过FFT算法来实现快速计算.然后对二阶发展方程进行了线性稳定性分析.数值结果验证了稳定性.进一步,数值实验还表明:FCTI方法经简单的修改后,可以有效地求解一些非标准的高阶半线性发展方程.其次,对非线性源项的近似采用Hermite插值,构造了求解n阶发展方程的新型快速紧致时间积分方法.该方法的思想非常朴素,就是在[tm,tm+1]上使用FCTI方法求解高阶方程（n ≥2）时,通过（3.10）可以获得数值解及其导函数在右端时刻的值,即U（l）（tm+1）,0≤l≤n-1,但在下一个时间步计算时只用到了已知值U（0）（tm+1）.如果能够充分利用已经算到的所有函数值U（l）（tm+1）,0≤l≤n-1来构造插值多项式,就能得到时间方向上更为紧凑的高精度格式.于是只需利用前一时间层的计算信息就可以在时间方向上达到n阶精度.数值模拟的结果验证了该方法的有效性.然后,构造了求解带Neumann边界条件的一阶和二阶发展方程的高效算法.Zhu等在文献[106]中指出直接利用Neumann边界条件,在边界处难以构造可快速计算的高精度离散格式.本文充分利用方程本身和文献[68]中的定理1,构造出了 Neumann边界条件的高精度离散格式,再结合内部格点上的紧致差分格式（2.17）,获得了全局四阶紧致差分格式.并利用文献[54,100]的算法处理技巧实现了高效计算.数值实验结果令人满意.最后,利用本文提供的快速紧致时间积分方法对三类在数学物理学科有重要影响的非线性耦合问题进行了高效算法设计及其数值模拟,得到了令人满意的数值结果.这些问题包括耦合Schrodinger方程组、Klein-Gordon-Schrodinger 方程组、Klein-Gordon-Zakharov 方程组.
赵心仪,董明哲[6]（2019）在《一类非线性抛物型方程的紧差分格式》文中指出本文研究了一维非线性抛物型方程的紧差分格式.首先将非线性项线性化,并参照线性抛物型方程的紧差分格式的推导思路导出了非线性抛物型方程的紧差分格式,并给出了截断误差表达式.其次用能量方法分析了紧差分格式,导出了先验估计式,证明了差分格式的可解性、稳定性和收敛性,确定收敛阶为O（τ2+h4）然后将Richardson外推法应用于紧差分格式,外推一次得到具有O （τ4+r2h4+h6）阶精度的近似解.最后通过数值算例,表明非线性抛物型方程的紧差分格式及其外推格式具有较高的收敛精度.
张明坤[7]（2019）在《两类时滞微分方程的数值计算方法》文中研究说明时滞微分方程作为微分方程的重要分支,在控制、生态等众多领域都有着广泛的应用.由于时滞项的存在使得其解析解很难获得,因此求解其数值解就成为了一个重要的研究方向.本文旨在研究时滞伪抛物型微分方程和中立型时滞微分方程的数值计算方法.本文的主要内容有以下几个方面:第一部分研究了时滞伪抛物型微分方程的直线法.首先,利用直线法将时滞伪抛物微分方程转化为时滞微分代数方程,并给出了收敛性分析和误差估计;然后将Runge-Kutta方法应用于时滞微分代数方程;最后通过数值例子验证理论结果的有效性.第二部分研究了中立型时滞微分方程的Rosenbrock方法.在中立型时滞微分方程时滞相关稳定的条件下,研究了中立型时滞微分方程的Rosenbrock方法的弱时滞相关稳定性.基于辐角原理,给出了Rosenbrock方法的弱时滞渐近稳定性的充分条件,最后通过数值例子验证理论结果的有效性.
黄文姣[8]（2019）在《求解扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法》文中研究说明非线性扩散反应爆破问题在化学、生物、物理和工程领域都有极其重要的应用.近年来,非线性方程解的爆破现象除了引起许多偏微分方程工作者的兴趣外,还引起了量子力学、流体力学、非线性光学等领域的工作者广泛关注.本文主要针对非线性扩散反应方程的爆破问题的有限差分方法及网格自适应算法进行研究,首先时间方向采用Crank-Nicolson格式,空间方向采用截断误差余项修正法在非均匀网格上建立了一维非线性扩散反应方程的高精度紧致差分格式.推导出了空间具有四阶精度,时间具有二阶精度的高精度格式.并采用Fourier法分析了该格式的稳定性.在求解爆破问题过程中,由于爆破解在有限时间内会突然变得无界,所以我们分别建立了时间和空间网格自适应算法,可以在空间爆破点附近对网格进行加密,而在时间爆破点附近采用小的时间步长.然后将此方法推广到二维问题中,建立了二维非线性扩散反应方程的高精度紧致ADI差分格式及网格自适应算法.最后通过具有精确解的问题,对本文格式进行了验证,在此基础上对一些没有精确解的爆破问题进行直接数值模拟,揭示数值解的渐近行为和解的爆破现象,得到爆破现象发生的初始条件、临界尺寸、临界时间、爆破发生的空间位置等.可以得出本文计算结果与文献结果相吻合,进而说明我们的数值模拟结果是精确有效的.本文所有格式及算例均可在偏微分方程数值求解软件上实现.
詹锐[9]（2018）在《半线性延迟微分方程及非线性偏微分方程的指数型积分法》文中进行了进一步梳理延迟微分方程和非线性偏微分方程被广泛应用于刻画自然科学领域中的各种现象。本文研究半线性延迟微分方程和两类非线性偏微分方程指数型积分法的性质。考虑了半线性延迟微分方程指数Runge–Kutta方法的收敛性和稳定性。分析了Gardner方程和Camassa–Holm方程算子分裂法的收敛性。本文的主要内容包含以下几个方面。研究了三类延迟微分方程显式指数积分法的稳定性。对线性自治延迟微分方程推导了显式指数Runge–Kutta方法的P和GP收缩的充分条件。针对线性非自治延迟微分方程,证明了Magnus积分法是PN和GPN稳定且二阶收敛的。对CN上的半线性延迟微分方程,得到了显式指数Runge–Kutta方法的RN和GRN稳定的充分条件。给出了P和GP收缩,RN和GRN稳定的显式指数Runge–Kutta方法,并通过数值实验验证了理论结果。分析了复Hilbert空间上的半线性延迟微分方程指数Runge–Kutta方法的D收敛和条件GDN稳定。引入了指数代数稳定和条件GDN稳定的概念。推导了指数代数稳定、对角稳定以及p级阶方法具有的性质。证明了带q（q≥p）阶Lagrange插值且指数代数稳定和对角稳定的p级阶方法是p阶D收敛的。同时证明了指数代数稳定和对角稳定的指数Runge–Kutta方法是条件GDN稳定的。构造了指数代数稳定和对角稳定的方法并给出了数值算例。针对半线性抛物型延迟微分方程研究了显式指数Runge–Kutta方法的刚性收敛和条件DN稳定。在解析半群的框架下推导了1至4阶刚性收敛的阶条件,并给出了1至4阶刚性收敛的显式指数Runge–Kutta方法。特别地,证明了所有的显式指数Runge–Kutta方法都是条件DN稳定的。与经典的隐式Runge–Kutta方法相比,显式指数Runge–Kutta方法具有更高的效率和精度。分析了Gardner方程Strang分裂法的收敛性。先研究了非线性子方程的正则性。接着证明了Strang分裂法在H2中是一阶收敛的且数值解在H5中是有界的。再由数值解的有界性证明了Strang分裂法在L2中是二阶收敛的。同时与三种经典的时间步进法比较精度和效率,也将Strang分裂法用于模拟Gardner方程的多孤波碰撞。研究了Camassa–Holm方程Lie–Trotter和Strang分裂法的收敛性。假设Camassa–Holm方程的解在H4中有界。先分析了Camassa–Holm方程和两个子方程的正则性。接着由正则性结果证明了Lie–Trotter和Strang分裂法在H2中是一阶收敛的且数值解在H4中是有界的。再根据数值解的有界性证明了Strang分裂法在H1范数下是二阶收敛的。最后给出了数值实验验证理论结果。
谢梦玲[10]（2014）在《一类非线性多延迟偏微分方程的数值解法》文中指出延迟微分方程在近二十年来得到了迅速的发展，延迟偏微分方程作为微分方程的一个发展活跃分支，广泛应用于人口动力学、传染病学、生态学、核工程、交通调度、工程控制等科学领域,对描述自然科学和社会科学中的各种现象具有重要作用。学者们关于延迟偏微分方程的理论研究成果越来越多，如解的稳定性，收敛性，周期性，振动性等。因延迟项的存在，求解延迟微分方程很少可以得到解析解的表达式，并且一定程度上使得理论分析复杂化，因此对延迟微分方程的数值解法的研究十分必要。考虑一类非线性单延迟偏微分方程，Ferreira JA.给出了向后Euler差分格式，孙志忠，张在斌先后建立了Crank-Nicolson型差分格式和紧致差分格式，关于数值解法的稳定性和收敛性的证明也都给出。这几种数值解法也可以求解多延迟偏微分方程的问题。本文主要针对一类多延迟偏微分方程的初边值问题，提出三种数值解法并对其收敛性和稳定性进行分析。针对上述多延迟微分方程可以建立相应的隐式Euler差分格式、Crank-Nicolson型差分格式和紧致差分格式。应用能量分析方法，三种数值解法的稳定性和收敛性的证明容易得出。最后通过相应的数值实例研究验证数值解法的稳定性和收敛性。
二、半线性伪抛物型差分格式的收敛性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、半线性伪抛物型差分格式的收敛性（论文提纲范文）
（1）半线性抛物积分微分方程扩张混合有限元方法的两层网格格式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 空间及范数 |
| 2.2 投影算子 |
| 2.3 重要引理 |
| 第3章 扩张混合有限元逼近及误差分析 |
| 3.1 问题模型 |
| 3.2 弱形式及全离散格式 |
| 3.3 先验误差估计 |
| 第4章 两网格算法及收敛性分析 |
| 4.1 两网格算法 |
| 4.2 粗网格上的先验误差估计 |
| 4.3 细网格上的先验误差估计 |
| 第5章 数值实验 |
| 5.1 实验数据 |
| 5.2 结果分析 |
| 第6章 结论 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
| 致谢 |
（2）一类退化抛物方程奇异解的数值分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 抛物方程有限差分法的研究现状 |
| 1.3 抛物方程有限元法的研究现状 |
| 1.4 本文主要研究工作 |
| 2 基础理论 |
| 2.1 淬火及方程的相关定义 |
| 2.2 渐进表示-同阶与高阶 |
| 2.3 基本定理和不等式 |
| 2.4 有限差分的基本概念及相关理论 |
| 2.5 有限元法的基本概念及相关理论 |
| 3 半线性热方程的有限分法 |
| 3.1 有限差分数值格式 |
| 3.2 有限差分的相关性质 |
| 3.3 数值淬火率 |
| 3.4 数值算例 |
| 4 拟线性热方程的有限元法 |
| 4.1 有限元数值格式 |
| 4.2 数值解的相关性质 |
| 4.3 数值解的淬火率和收敛性 |
| 4.4 数值算例 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（3）一类四阶非线性抛物方程的紧致差分方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 背景及国内外研究现状 |
| §1.2 本文研究内容 |
| 第二章 一维四阶非线性抛物方程的紧致差分方法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 紧致差分格式的建立 |
| §2.3 差分格式解的存在唯一性 |
| §2.4 差分格式的求解 |
| §2.5 差分解的有界性 |
| §2.6 稳定性和收敛性分析 |
| §2.7 数值算例 |
| 第三章 二维四阶非线性抛物方程的紧致差分方法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 紧致差分格式的建立 |
| §3.3 差分格式解的存在唯一性 |
| §3.4 差分格式的求解 |
| §3.5 差分解的有界性 |
| §3.6 稳定性和收敛性分析 |
| §3.7 数值算例 |
| 第四章 总结与展望 |
| §4.1 总结 |
| §4.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的学术成果 |
| 致谢 |
（4）几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇异摄动问题 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 渐近方法 |
| 1.2.2 数值方法 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第2章 二阶奇异摄动边值问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 有理谱方法 |
| 2.1.2 Sinh变换 |
| 2.1.3 奇异分离技术 |
| 2.2 渐近分析 |
| 2.2.1 反应扩散方程 |
| 2.2.2 对流扩散反应方程 |
| 2.3 误差分析 |
| 2.3.1 最值原理 |
| 2.3.2 误差估计 |
| 2.4 算法实现 |
| 2.4.1 反应扩散方程 |
| 2.4.2 对流扩散反应方程 |
| 2.5 变系数问题 |
| 2.5.1 变系数对流扩散问题 |
| 2.5.2 变系数反应扩散问题 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 小结 |
| 第3章 奇异摄动方程组问题 |
| 3.1 渐近分析 |
| 3.2 常系数奇异摄动方程组问题 |
| 3.2.1 反应扩散型问题 |
| 3.2.1.1 奇异分离技术 |
| 3.2.1.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.1.3 误差分析 |
| 3.2.2 对流扩散型问题 |
| 3.2.2.1 奇异分离技术 |
| 3.2.2.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.2.3 误差分析 |
| 3.3 变系数问题 |
| 3.3.1 反应扩散型问题 |
| 3.3.2 对流扩散型问题 |
| 3.3.3 对流扩散反应型问题 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 含界面条件的奇异摄动问题 |
| 4.1 反应扩散问题 |
| 4.1.1 渐近分析 |
| 4.1.2 RSC-SSM方法 |
| 4.2 对流扩散问题 |
| 4.2.1 渐近分析 |
| 4.2.2 RSC-SSM方法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 非定常奇异摄动问题 |
| 5.1 抛物型奇异摄动问题 |
| 5.1.1 Laplace变换 |
| 5.1.2 数值逆Laplace变换 |
| 5.1.3 数值实验 |
| 5.2 时间分数阶奇异摄动问题 |
| 5.2.1 分数阶微积分 |
| 5.2.2 Laplace变换 |
| 5.2.3 数值实验 |
| 5.3 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作的总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（5）高阶发展问题的高效算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT(英文摘要) |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与研究现状 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作和创新点 |
| 1.4 符号说明 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 几个典型的发展方程 |
| 2.1.1 Allen-Cahn方程 |
| 2.1.2 广义Klein-Gordon方程 |
| 2.1.3 在松弛介质中传播的三阶波动方程 |
| 2.1.4 耦合问题 |
| 2.2 常微分方程初值问题的求解 |
| 2.3 三个特殊矩阵的谱分解及其快速计算 |
| 2.4 空间离散方法 |
| 2.4.1 二阶中心差分格式 |
| 2.4.2 紧致差分格式 |
| 2.5 指数时间差分方法 |
| 第三章 求解一类任意阶发展方程的快速紧致时间积分方法 |
| 3.1 二维空间上的紧致时间积分方法及其快速实现 |
| 3.1.1 空间离散:四阶紧致差分及其离散sine变换(DST) |
| 3.1.2 时间方向离散:时间积分多步法逼近 |
| 3.1.3 周期边界问题 |
| 3.2 三维情形的推广 |
| 3.3 线性稳定性分析 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 稳定性测试 |
| 3.4.2 收敛性和高效性测试 |
| 3.4.3 与傅立叶谱IFRK方法的比较 |
| 3.4.4 一些应用问题 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 求解任意阶发展方程的新型快速紧致时间积分方法 |
| 4.1 Dirichlet边界问题 |
| 4.2 基于Hermite插值近似的时间积分方法 |
| 4.3 周期边界问题 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 求解带Neumann边界条件的一阶发展方程的快速紧致指数时间差分方法 |
| 5.1 快速紧致指数时间差分法 |
| 5.1.1 空间离散化:四阶紧致差分格式 |
| 5.1.2 指数时间积分与快速计算 |
| 5.2 三维情形的推广 |
| 5.3 数值实验 |
| 5.3.1 收敛性和高效性测试 |
| 5.3.2 Allen-Cahn方程 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 求解带Neumann边界条件的二阶发展方程的高效算法 |
| 6.1 空间半离散 |
| 6.2 时间离散 |
| 6.3 数值实验 |
| 6.3.1 收敛性和效率测试 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 求解耦合发展方程组的高效算法 |
| 7.1 空间方向离散 |
| 7.2 时间方向离散 |
| 7.3 数值实验 |
| 7.3.1 有效性和高效性测试 |
| 7.3.2 三类非线性耦合问题 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的论文 |
（6）一类非线性抛物型方程的紧差分格式（论文提纲范文）
| 1. 引言 |
| 2. 紧差分格式的建立与截断误差表达式 |
| 3. 差分格式解的先验估计式 |
| 4. 差分格式的可解性、收敛性与稳定性 |
| 5. 外推算法 |
| 6. 数值算例 |
（7）两类时滞微分方程的数值计算方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 时滞微分方程研究现状 |
| 1.2.2 Rosenbrock方法研究现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 基本概念及引理 |
| 2.1 直线法 |
| 2.2 Rosenbrock方法 |
| 2.3 辐角原理 |
| 2.4 本章小节 |
| 第三章 时滞伪抛物型微分方程 |
| 3.1 半离散化 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 3.3 数值算例 |
| 3.4 结论 |
| 第四章 中立型时滞微分方程 |
| 4.1 准备工作 |
| 4.2 Rosenbrock方法的弱时滞相关稳定性 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 结论 |
| 第五章 总结与展望 |
| 攻读硕士学位期间完成的工作 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（8）求解扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 爆破问题研究现状 |
| 1.3 高精度紧致格式研究现状 |
| 1.4 偏微分方程数值求解软件概述 |
| 1.5 本文主要工作 |
| 第二章 一维扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法 |
| 2.1 高精度紧致格式 |
| 2.2 稳定性分析 |
| 2.3 网格自适应方法 |
| 2.4 数值算例 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 二维扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法 |
| 3.1 高精度紧致ADI格式 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 网格自适应算法 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 偏微分方程数值求解软件接入与实现 |
| 4.1 偏微分方程数值求解软件接入 |
| 4.2 PHOEBE Solver软件实现 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简介 |
（9）半线性延迟微分方程及非线性偏微分方程的指数型积分法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的背景和意义 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 指数型积分法的研究现状 |
| 1.2.2 指数Runge–Kutta方法的研究现状 |
| 1.2.3 算子分裂法的研究现状 |
| 1.3 本文的主要研究内容 |
| 第2章 半线性延迟微分方程显式指数Runge–Kutta方法的稳定性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 显式指数Runge–Kutta方法的P收缩和GP收缩 |
| 2.3 Magnus方法的PN稳定和GPN稳定 |
| 2.4 显式指数Runge–Kutta方法的RN稳定和GRN稳定 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 半线性延迟微分方程指数Runge–Kutta方法的D收敛和条件GDN稳定 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 指数Runge–Kutta方法的格式 |
| 3.3 指数Runge–Kutta方法的D收敛 |
| 3.4 指数Runge–Kutta方法的条件GDN稳定 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 半线性抛物延迟微分方程显式指数Runge–Kutta方法的研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 显式指数Runge–Kutta方法的格式 |
| 4.3 显式指数Runge–Kutta方法的刚性收敛 |
| 4.4 显式指数Runge–Kutta方法的条件DN稳定 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 Gardner方程算子分裂法的收敛性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 Gardner方程的Strang分裂法 |
| 5.3 非线性子方程的正则性 |
| 5.4 Strang分裂法的收敛性 |
| 5.4.1 H~2范数下的一阶收敛性 |
| 5.4.2 L~2范数下的二阶收敛性 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.5.1 全离散的Strang分裂法 |
| 5.5.2 实验结果 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 Camassa–Holm方程算子分裂法的收敛性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 Camassa–Holm方程和两个子方程的正则性 |
| 6.2.1 Burgers方程的正则性 |
| 6.2.2 非线性子方程的正则性 |
| 6.2.3 Camassa–Holm方程的正则性 |
| 6.3 算子分裂法的收敛性 |
| 6.3.1 H~2范数下的一阶收敛性 |
| 6.3.2 H~1范数下的二阶收敛性 |
| 6.4 数值实验 |
| 6.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（10）一类非线性多延迟偏微分方程的数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 延迟微分方程的发展历史 |
| 1.2 延迟常微分方程数值方法的研究 |
| 1.3 延迟偏微分方程的数值方法的研究 |
| 1.4 本文研究内容 |
| 2 求解偏微分方程的几种数值解法 |
| 2.1 隐式 Euler 方法 |
| 2.2 Crank-Nicolson 型差分格式 |
| 2.3 紧致差分格式 |
| 3 总结 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
四、半线性伪抛物型差分格式的收敛性（论文参考文献）
- [1]半线性抛物积分微分方程扩张混合有限元方法的两层网格格式[D]. 姜文竹. 北华大学, 2021(12)
- [2]一类退化抛物方程奇异解的数值分析[D]. 安家嘉. 西安建筑科技大学, 2021(01)
- [3]一类四阶非线性抛物方程的紧致差分方法[D]. 张迪. 山东师范大学, 2021(12)
- [4]几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究[D]. 杨录峰. 兰州大学, 2021(09)
- [5]高阶发展问题的高效算法研究[D]. 吴渤. 上海交通大学, 2020(01)
- [6]一类非线性抛物型方程的紧差分格式[J]. 赵心仪,董明哲. 数值计算与计算机应用, 2019(03)
- [7]两类时滞微分方程的数值计算方法[D]. 张明坤. 上海大学, 2019(03)
- [8]求解扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法[D]. 黄文姣. 宁夏大学, 2019(02)
- [9]半线性延迟微分方程及非线性偏微分方程的指数型积分法[D]. 詹锐. 哈尔滨工业大学, 2018(01)
- [10]一类非线性多延迟偏微分方程的数值解法[D]. 谢梦玲. 华中科技大学, 2014(12)